Galileo Galilei, già nel XV secolo affermava che “È più facile studiare il moto di corpi celesti infinitamente lontani che quello del ruscello che scorre ai nostri piedi.”[1]. Egli aveva infatti capito, già cinquecento anni fa, la fisica, ancora non scoperta, che si celava dietro alla meccanica dei fluidi. Questa difficoltà e complessità è ancora oggi parzialmente irrisolta data la natura delle equazioni di Naiver-Stokes che descrivono il comportamento dei fluidi [2]. Nell’eolico tutto questo è tornato di grande attualità infatti come abbiamo visto in altri articoli, la potenza estraibile dal vento è enormemente influenzata dalla sua velocità [3]. Le campagne di misura della ventosità sono quindi indispensabili per la conoscenza del potenziale di un terreno, tuttavia possono non bastare. Spesso il vento viene misurato ad un’altezza di misura che non è quella che poi corrisponde all’installazione eventuale di una turbina. Esistono però delle leggi che ci permettono di capire, a partire da un’altezza di misura, qual è la velocità del vento ad un’altra altezza di misura. Queste leggi derivano dalle complesse equazioni citate sopra; nel presente articolo cercheremo di fare una disamina completa dell’argomento e vi mostreremo come esso è influente ai fini della riuscita di un investimento nell’eolico.
Generalità – I modelli usati e il ruolo del roughness
Su un autorevole testo [4] (e non solo su questo) si afferma che: “Molti ricercatori ritengono che l’influenza delle proprietà del terreno sulla produzione di energia eolica sia tale da determinare la resa economica dell’investimento”. Questa affermazione ci introduce immediatamente al centro dell’argomento del nostro articolo: ci sono infatti due principali tecniche per determinare l’aumento della ventosità all’aumentare dell’altezza:
- Log law o legge logaritimica
- Power law o legge di potenza
Entrambe queste leggi hanno derivazione semi-empirica poiché provengono solo in parte da casi semplificati delle equazioni di Naiver-Stokes e in altra parte da esperienze sul campo. Entrambe le leggi però sono dipendenti, anche se in maniera diversa, da un parametro che risulta cruciale in questo tipo di calcolo: il coefficiente di scabrezza del terreno o roughness coefficient. Parametro che misura l’asperità del terreno su cui si effettua la misura. Come abbiamo già visto negli altri articoli [3] sono 4 le forze che influenzano il vento, la quarta e più locale è la cosiddetta forza di frizione, indicata con Ff. E’ una forza che emerge quando due strati di qualsiasi materiale scorrono l’uno sull’altro ed in fisica si è soliti esprimere, come proporzionale alla forza che avvicina i due strati a contatto:
Dove:
µ: è il coefficiente di attrito (che può essere di varia natura)
F⊥ è la forza (nel caso del vento solo peso) agente sulla superficie di separazione tra i due corpi a contatto (in questo caso la terra)
Supponendo in prima approssimazione il peso dell’aria costante per ogni altitudine,la forza F⊥ è costante, quindi la forza di frizione è dipendente dal solo coefficiente di attrito. Questo coefficiente aumenta all’aumentare della scabrezza della superficie di separazione. Maggiore è la forza di frizione maggiore sarà il disturbo che questa esercita sul vento che passa vicino al suolo, maggiore quindi sarà la parte di flusso che deve concentrarsi negli strati maggiori dell’atmosfera. Ma vediamo un esempio introduttivo nella Figura 1.
Fig.1 – Andamento del vento al variare dell’altezza quando incontra un piccolo ostacolo (a sinistra) e uno grande (a destra), con la linea blu chiara è indicato il profilo di vento medio, la lunghezza delle linee è proporzionale all’intensità del vento.
La Figura 1 ci indica cosa succede quando il vento trova un ostacolo: se l’ostacolo è basso le forze di frizione che il terreno esercita sulla massa in movimento saranno minori e il profilo del vento si addenserà poco in altezza ma rimarrà piuttosto uniforme; al contrario se l’ostacolo è importante le forze di frizione del vento sono alte, esse causano nella regione a contatto con l’ostacolo zone di flusso turbolento che hanno l’effetto di addensare il vento negli strati alti. Quando quindi le asperità del terreno sono importanti il profilo di vento medio sarà un profilo in forte crescita all’aumentare dell’altitudine. Vedremo successivamente che i profili di vento al variare dell’altezza possono essere comunque descritti da curve logaritmiche o esponenziali con esponenti minori di 1. Questa semplice introduzione ci fa però capire l’importanza dell’orografia del terreno sulla variazione del profilo ventoso con l’altezza. La scabrezza descrive le asperità presenti su ogni tipo di superficie e può essere applicata anche al caso eolico.
La scabrezza o roughness in fisica
La scabrezza è un parametro ampliamente usato in ingegneria e in fisica. Esso può essere definito sia per oggetti in 2 dimensioni che in 3 dimensioni. Consideriamo per semplicità una linea in 2D, su di essa si formano delle asperità o disomogeneità (Vedi Fig.2). La scabrezza di un materiale si misura a partire dal livello teorico che il materiale o il profilo in esame avrebbe dovuto avere e misurando a campione ogni di scostamento da questo punto, se non si ha questo riferimento si definisce un profilo medio e da quello si fanno le misure.
Fig. 2 – Esempio semplificato di misura di rugosità su una superficie (in grigio): con y sono indicati i punti di misura (in rosso) equidistanti a cui corrisponderà un’altezza dal profilo teorico della superficie da misurare(in nero). A partire da queste misure si definisce la scabrezza o roughness. [13]
- Scabrezza media: semplicemente definita come la media aritmetica dello scostamento della superficie dalla superficie teorica. Gli scostamenti sono presi in valore assoluto.
- Valore efficace di scabrezza o RMS: è la vera definizione di scabrezza, calcolata come valore efficace degli scostamenti:
Esistono anche numerose altre grandezze misurabili quali la kurtosis o la skewness che caratterizzano la distribuzione delle imperfezioni; per l’interesse che riveste questa grandezza nell’eolico è sufficiente capire cosa si intende con rugosità a partire dalle definizioni 2 e 3.
Il roughness nell’eolico e la sua importanza
Quando si parla di roughness coefficient nell’eolico ci si riferisce alla misura di scabrezza del terreno prendendo la quota zero del suolo come riferimento. Misurare questo parametro geometricamente è un’operazione particolarmente complicata che quasi mai viene fatta nonostante la grande influenza che questo parametro ricopre nella stima della risorsa ventosa. Per ovviare a questa impossibilità sono state definite delle tavole di riferimento che riportano i valori di Roughness al variare del tipo di terreno presente. Questa misura nelle applicazioni eoliche è definita come l’area frontale dell’elemento che contrasta il vento diviso per l’area che l’ostacolo stesso occupa; indicata con la lettera z0, è solitamente espressa in metri. Nella tabella di Figura 3 riportiamo una classificazione [6] per questa misura, in essa si riportano l’indice di scabrezza z0 per diversi tipi di terreno. Per una scala più semplificata si veda anche il riferimento [5].
| Descrizione del terreno | Scabrezza o Roughness corrispondenteZ0[mm] |
| Molto liscio, ghiaccio, lago. | 0,01 |
| Mare calmo e aperto | 0,2 |
| Mare mosso | 0.5 |
| Superficie innevata | 3 |
| Prato | 8 |
| Pascolo irregolare | 10 |
| Campo incolto | 30 |
| Campo a coltura cerealicola | 50 |
| Terreno con pochi alberi | 100 |
| Terreno con molti alberi, siepi pochi e bassiedifici | 250 |
| Foreste e boschi | 500 |
| Periferie di città | 1500 |
| Centri città con alti edifici | 3000 |
Fig.3 -Tabella contenente gli indici di scabrezza per diverse tipologie di terreno
Appare chiaro che stimare il coefficiente di scabrezza su un terreno omogeneo è un’operazione che può essere fatta con l’ausilio di alcune tavole quali quella di Figura 3; anche se risulta estremamente difficile essendo il range dei possibili valori circa 3·103, il problema sorge quando l’installazione è su un terreno non omogeneo. In questo caso la via più precisa da adottare è quella di costruire un indice di scabrezza per ogni direzione e poi mediare questi indici ricavando un indice globale. Solitamente per fare questo si divide lo spazio in 12 settori ciascuno di 30 gradi, e per ogni settore si definisce uno o più indici di scabrezza e poi si mediano fra loro. La Fig. 4 riporta un esempio di valutazione dell’indice di scabrezza su un terreno.
| GRADI | Scabrezza a 100m | Scabrezza a 1000m | Scabrezza a 5000m | Scabrezza risultante |
| 0 | 0,01 | 0,45 | 0,20 | 0,22 |
| 30 | 0,01 | 0,45 | 0,20 | 0,22 |
| 60 | 0,05 | 0,03 | 0,01 | 0,03 |
| 90 | 0,05 | 0,03 | 0,40 | 0,16 |
| 120 | 0,20 | 0,10 | 0,25 | 0,18 |
| 150 | 0,20 | 0,10 | 0,30 | 0,20 |
| 180 | 0,40 | 0,10 | 0,05 | 0,18 |
| 210 | 0,40 | 0,12 | 0,05 | 0,19 |
| 240 | 0,20 | 0,01 | 0,01 | 0,07 |
| 270 | 0,20 | 0,01 | 0,01 | 0,07 |
| 300 | 0,40 | 0,01 | 0,01 | 0,14 |
| 330 | 0,40 | 0,01 | 0,01 | 0,14 |
| MEDIA | 0,21 | 0,12 | 0,13 | 0,15 |
Fig.4 – Analisi direzionale dell’indice di scabrezza e calcolo del suo valore risultante medio tramite la costruzione di una rosa direzionale.
Un ulteriore affinazione del calcolo del coefficiente z0 dovrebbe essere quella che tiene conto anche della distanza del coefficiente dal centro della misura; è ovvio che più ci si avvicina al punto di misura (e quindi di futura installazione dell’aerogeneratore) più è rilevante il coefficiente di scabrezza. Per tenere conto di questo la media andrebbe pesata in modo inversamente proporzionale alla vicinanza con il punto di misura.
Ricordiamo che i parametri ottimali per una corretta valutazione sono:
- Area di valutazione corrispondente a un raggio di 5000m dal centro della misura
- Settore massimo di valutazione di 30°
Vedremo che per terreni non omogenei la stima del roughness diventa praticamente impossibile e si adottano altre metodologie per stimare la variazione di vento con l’altezza.
Le leggi pr calcolare le variazioni del vento con l’altezza dal suolo
Dopo queste debite premesse vediamo quali sono le leggi usate per calcolare la variazione del vento al variare dell’altezza di misura.
I. LOG LAW O LEGGE LOGARITMICA
Per arrivare alla legge logaritmica si parte direttamente dall’equazioni di Naiver Stokes, in particolare dalla conservazione della quantità di moto nella forma di Cauchy [7] che si riduce, nel caso del vento superficiale (diretto quindi secondo x), all’equazione:
Dove x e z sono le coordinate orizzontale e verticale, rispettivamente, rispetto al terreno, p è la pressione e τxz è la componente del tensore degli sforzi viscosi e rappresenta l’attrito tra i filetti di fluido che si scorrono l’uno sull’altro in direzione orizzontale.Supponendo poi la pressione atmosferica p costane lungo l’asse z (ipotizzando variazioni di altitudine ridotte) e lungo l’asse x (il terreno è omogeneo per ipotesi e quindi non ci sono grosse variazioni), usando la teoria di Prandtl [8] per valutare τxz e introducendo un parametro di miscelazione l, si giunge a esprimere la variazione di velocità con l’altezza, dove τ0 è il valore dello sforzo viscoso valutato al suolo:
Se poi assumiamo che il terreno sia omogeneo e piano (come nelle ipotesi già riportate) possiamo scrivere l=kz, dove k è la costante di Von Karman [9] presa pari a 0,4. Integrando l’equazione fra z0 (che diventa la nostra scabrezza) e z (che è la quota di interesse) si giunge alla legge logaritmica:
Dove U* è la velocità frizionale.
Nella sua estensione più comunemente usata la legge logaritmica è espressa come:
Che è appunto la formula usata per calcolare la velocità del vento a una quota z partendo da una misura di velocità alla quota zr su un terreno con indice di roughness z0. Nella Figura 5 si riportano i risultati dell’applicazione di questa formula per una misura a zr=10m, con vari indici di roughness ripresi dalla tabella di Figura 3 e calcolando la misura fino a z=60m.
Fig. 5 – Andamento della velocità media del vento secondo la legge logaritmica per diversi tipi di terreno (indicati con i diversi colori) per una misura compiuta a 10m dal suolo dove si è supposto una velocità media del vento di 4 m/s.
II. La power law o Legge di potenza
La legge di potenza è una legge di derivazione puramente empirica che si usa soprattutto quando l’orografia del terreno e la scabrezza non sono omogenee poiché il terreno presenta molti dislivelli e asperità. La legge di potenza è espressa dalla seguente relazione:
Dove con Uz si indica la velocità del vento all’altezza z da trovare, con Uzr la velocità del vento misurata alla quota zr di riferimento. Il coefficiente α detto esponente di potenza o coefficiente di Helmann dipende da numerose variabili quali l’altitudine, l’ora del giorno, la stagione e, ovviamente, la scabrezza del suolo. Esistono delle correlazioni fra α ed altri parametri fisici compresa la scabrezza del suolo, fra cui:
- La correlazione fra α e la quota di riferimento zr dove viene misurato il vento Ur [10]:
- La correlazione fra α e il roughness zo (valida per 0,001m<zo<10m) [11]:
Sono state costituite, anche per il coefficiente α, delle tabelle dipendenti dal tipo di terreno e dalla situazione metrologica della massa d’aria che lo sovrasta [12], esse sono riportate nella tabella di Figura 6nella quale si riporta anche un confronto di estrapolazione di misure a 20, 30 e 40m con misure effettuate a 10m e usando per rapportare i coefficienti la relazione (10). E’ da notare che la derivazione di questi coefficienti è di natura aeronautica ed è solo di raffronto con altre tecniche nella valutazione per applicazioni eoliche.
| TIPOLOGIA DI TERRENO | Coefficiente di Helmann α |
| Aria instabile su mare aperto | 0,06 |
| Aria neutra su mare aperto | 0,1 |
| Aria instabile su costa pianeggiante | 0,16 |
| Aria stabile su mare aperto | 0,27 |
| Aria instabile su abitazioni | 0,27 |
| Aria neutra su area abitata | 0,34 |
| Aria stabile su costa pianeggiante | 0,4 |
| Aria stabile su area abitata | 0,6 |
Fig. 6 – Coefficienti di Helmann per vari tipi di terreni e situazioni meteorologiche, sotto un raffronto globale delle due tecniche di estrapolazione usando i coefficienti della tabella di Fig. 3 dove si simula l’andamento del vento medio di 4 m/s misurato a 10m ed estrapolato fino a 40m con le due tecniche.
Il coefficiente α è legato a variabili che possono variare molto rapidamente nell’arco della misura di un anno, per questo motivo si adatta più ad applicazioni meteorologiche e aeronautiche per la bassa atmosfera e viene raramente usato nelle applicazioni eoliche. Trova però applicazione laddove l’orografia e il tipo di terreno sono instabili; molti sono concordi infatti nel sostenere che assumendo un esponente pari ad α=1/7=0,14285 si rientri comunque in un caso cautelativo che al massimo sottostima le potenzialità del terreno. La legge di potenza è anche detta in questo caso “1/7 law” e trova larghissima diffusione nell’ingegneria eolica laddove manca la misura di roughness o laddove non si può o non si vuole indagare a fondo.
Come misurare la scabrezza Z0 di un terreno
La scabrezza di un terreno z0 e il suo coefficiente α possono essere determinati sul campo. Data l’ampissimo range di variazione dei loro valori che li rendono di difficile assegnazione arbitraria e la loro influenza enorme sul risultato finale della campagna di misura, per investimenti importanti, è quasi sempre opportuno calcolare queste grandezze in modo da minimizzare al massimo gli errori di stima di producibilità. Abbiamo visto che gli andamenti descritti dalle due leggi sono logaritmici o esponenziali con esponenti minori di uno. Entrambe le equazioni di queste due leggi sono univocamente determinabili da 2 punti (per due punti passa un solo logaritmo e una sola iperbole). Per questo motivo è sufficiente installare 2 anemometri che misurino la velocità del vento a due altezze differenti e avremo la misura esatta. In particolare, date due velocità del vento Uz1 e Uz2 a due diverse altezze di misura z1 e z2, per ricavare l’indice di scabrezza dalla legge logaritmica (7) si dovrà usare la formula:
Mentre per ricavare il coefficiente di Helmann si userà la formula:
Un’ultima precisazione è molto importante: considerando che le misure di velocità del vento Uz1 e Uz2 saranno affette da un certo errore, maggiore è la distanza in altezza fra i due punti di misura (che possiamo chiamare Δz), più preciso verrà il calcolo del parametro di roughness z0 e/o di α poiché l’errore relativo inciderà sempre meno nella determinazione della curva man mano che i due punti di misura si allontanano. Per dare un ordine di grandezza si dovrebbero sempre garantire distanze fra i due anemometri maggiori di 1/3 dell’altezza totale di misura e comunque maggiori di 5m.
Conclusioni
Nelle tecniche di wind energy assesment, ossia l’insieme delle tecniche atte a determinare la potenzialità di un terreno per applicazione eolica, il cosiddetto profilo altimetrico del vento o gradiente di ventosità che abbiamo descritto in questo articolo ricopre un’importanza centrale. Misurare il vento con precisione non è infatti sufficiente a meno che non lo si misuri esattamente all’altezza di installazione della turbina. Questo spesso non è possibile per i motivi più vari. L’accorgimento più sicuro è quello di effettuare misure a due differenti altezze e così stimare con precisione i parametri per estrapolare il vento ad altezze superiori a quelle di misura. Se questo non risulta possibile per motivi economici (ad es. in campagne di misura per il mini eolico) allora bisogna valutare la natura del terreno di installazione. Se esso è omogeneo conviene usare la legge logaritmica, inserendo un accurato studio del coefficiente z0 dato da un’analisi condotta con una rosa direzionale. Se invece il terreno non è omogeneo conviene, in via cautelativa, utilizzare direttamente la legge di potenza 1/7. La procedura operativa corretta è riassunta in Fig. 7.
Fig. 7 – Flow chart decisionale per stabilire il metodo migliore nel determinare la legge che regola la variazione del vento al variare dell’altezza dal suolo secondo le metodologie di Energyhunters.
Laddove si deve scegliere tramite tabelle il coefficiente di roughness o di Helmann si deve tenere conto della grandissima influenza che essi hanno sul risultato finale. Nella Figura 8 si riportano gli andamenti dell’errore della stima sulla potenza aerodinamica di un sito al variare della stima di z0 e di α.
Fig. 8 – Andamento dell’errore di stima della potenza aerodinamica al variare dell’errore dei parametri di estrapolazione α e Z0 espressi in per unità. Le misure si riferiscono a una misura a 10m con vento medio di 4m/s, i valori dei parametri sono presi dalle tabelle 3 e 6.
La Figura 8 è molto significativa in quanto ci permette di notare che:
- La legge logaritmica che utilizza Z0 risulta più affidabile e precisa poiché il range del parametro di valori fra cui scegliere è più ampio.
- Entrambe le leggi hanno andamento dell’errore esponenziale, questo vuol dire che che commettere un errore quando i coefficienti sono piccoli ha un’influenza molto più bassa rispetto a quando il terreno è molto scabro e i coefficienti sono alti.
- La formula logaritmica risulta meno sensibile agli errori di stima dei parametri di estrapolazione: a parità di errore sul coefficiente l’errore che si commette sulla stima del valore finale di potenza aerodinamica sarà sempre minore con la formula logaritmica.
- La stima dei coefficienti risulta estremamente influente sul risultato finale.
Ancora una volta dalla nostra esperienza e dalla teoria emerge quanto importanti siano nelle tecniche di assesment per l’eolico, la conoscenza e il corretto utilizzo delle relazioni che legano l’intensità ventosa alla potenza effettivamente disponibile sul terreno. Più ci si addentra nello studio di questa incredibile risorsa più se ne conosce la sua potenza ma anche la sua natura particolare e ribelle. Uno degli obiettivi di Energyhunters vuole essere proprio quello di studiare e comprendere le risorse che la natura ci mette a disposizione per poterle sfruttare al meglio nel segno della causa della sostenibilità globale.
